Kā atrast augstumu vienādainā trīsstūrī? Atrašanas formula, augstuma īpašības vienādainā trīsstūra formā

Ģeometrija ir ne tikai priekšmets skolā,kam nepieciešams lielisks vērtējums. Tas ir arī zināšanas, kuras bieži vien ir nepieciešamas dzīvē. Piemēram, būvējot māju ar augstu jumtu, ir nepieciešams, lai aprēķinātu biezumu apaļkoku un to skaitu. Tas ir viegli, ja jūs zināt, kā atrast augstumu vienādmalu trīsstūra. Arhitektūras struktūra balstās uz zināšanām par īpašībām ģeometrisko skaitļiem. Ēku formas bieži vizuāli līdzinās tām. Ēģiptes piramīdas, iepakojumi no piena, mākslinieciskā izšūšana, ziemeļu gleznošanas un pat kūkas - visi trijstūri ap cilvēku. Kā teica Plato, visa pasaule ir balstīta uz trijstūriem.

Izolētais trīsstūris

Lai padarītu to skaidrāku, kas tiks apskatīts tālāk, ir vērts atcerēties ģeometrijas pamati.

Trijstūris ir vienaldzīgs, ja tam ir divas vienādas puses. Viņus vienmēr sauc par sāniem. Sānu, kuras izmēri atšķiras, sauc par pamatu.

Pamatjēdzieni

Tāpat kā jebkura zinātne, ģeometrijai ir savi pamatnoteikumi un jēdzieni. Ir daudz no tiem. Apsveriet tikai tos, bez kuriem mūsu tēma būs nedaudz nesaprotama.

Augstums ir taisna līnija, kas ir perpendikulāra pretējā pusē.

Vidusjons ir segments, kas vērsts no jebkura trijstūra virsotnes tikai pretējā pusē.

Leņķa biseksektors ir staru kūlis, kas daļēji sadala leņķi.

Trijstūra bisektora forma ir taisna vai, drīzāk, stūra bisektrise, kas savieno virsotni ar pretējo pusi.

Ir svarīgi atcerēties, ka bisektrise no leņķa - tas ir obligāts ray un trīsstūri bisektrise - daļa no gaismu.

Leņķi pie pamatnes

Teorēma saka, ka leņķi, kas atrodas piejebkura vienādainā trīsstūra pamatojums vienmēr ir vienāds. Tas ir ļoti vienkārši pierādīt šo teorēmu. Apsveriet vienādsānu trijstūri ABC parādīts, par kuru AB = BC. No leņķa ABC ir jāuzliek VD bisektons. Tagad apsveriet abus iegūtos trīsstūrus. Ar nosacījumu AB = BC, AP puse trijstūriem ir kopīga, un ABD un SVD leņķi ir vienādi, jo VD ir bisektrise. Atsaucoties uz pirmo vienlīdzības zīmi, mēs varam droši secināt, ka izskatāmie trijstūri ir vienādi. Un līdz ar to visi atbilstošie leņķi ir vienādi. Un, protams, partijas, bet līdz šim mēs atgriezīsimies vēlāk.

Izolēta trīsstūra augstums

Galvenā teorēma, uz kuras pamatojas risinājumsgandrīz visas problēmas, izklausās šādi: augstums taisnstūra trijstūrī ir bisektrise un vidusdaļa. Lai saprastu tā praktisko nozīmi (vai būtību), ir nepieciešams izveidot papildu pabalstu. Šim nolūkam no papīra jāizvelk vienādainu trīsstūris. Vienkāršākais veids, kā to izdarīt, ir no standarta tetrada lapas šūnā.

Nolaidiet iegūto trijstūri pusi, izlīdzinotsānu malas. Kas notika? Divi vienādi trijstūri. Tagad jums ir nepieciešams pārbaudīt minējumus. Izlieciet origami. Izlieciet līniju no reizes. Izmantojot transportieri, pārbaudiet leņķi starp velkamo līniju un trijstūra pamatni. Kāds ir 90 grādu leņķis? Fakts, ka līnija ir izliekta perpendikulāri. Pēc definīcijas - augstums. Kā atrast augstumu vienādainā trīsstūrī, mēs to šķiroja. Tagad pievērsīsimies stūri augšā. Izmantojot to pašu transportieri, pārbaudiet leņķi, ko tagad veido augstums. Tie ir vienādi. Tas nozīmē, ka augstums ir arī bisektons. Bruņota ar lineālu, mēra garumus, kādos pamatnes augstums izzūd. Tie ir vienādi. Līdz ar to augstums taisnstūra trīsstūrī dala bāzi pusi un ir vidusdaļa.

Teorēmas pierādījums

Vizuālais atbalsts skaidri parāda teorēmas patiesumu. Bet ģeometrija - zinātne ir diezgan precīza, tāpēc tam ir vajadzīgi pierādījumi.

Apsverot vienādojumu leņķus arpierādīta trijstūru vienlīdzība. Atcerieties, ka VD ir bisektrise, un AVD un SVD trijstūri ir vienādi. Secinājums bija šāds: attiecīgās trīsstūra malas un, protams, leņķi ir vienādi. Tādējādi AD = SD. Tāpēc VD ir vidējais. Joprojām ir jāpierāda, ka VD ir augstums. Pamatojoties uz izskatāmo trijstūra vienādojumu, izrādās, ka ADB leņķis ir vienāds ar VDV leņķi. Bet šie divi stūri ir savstarpēji savienoti, un, kā zināms, dot pavisam 180 grādus. Tātad, ar ko viņi ir vienādi? Protams, 90 grādi. Tādējādi VD ir augstums taisnstūra trijstūrī, kas piesaistīts pamatnei. Kā jāpierāda.

Galvenās funkcijas

• Lai veiksmīgi risinātu problēmas, ir nepieciešams atcerēties vienādainu trīsstūru pamatjēdzienus. Tie, šķiet, ir pretēji teorēmiem.
• Ja problēmas atrisināšanā tiek konstatēta divu leņķu vienlīdzība, tad jums ir jārisina vienādsirdīgs trīsstūris.
• Ja bija iespējams pierādīt, ka viduspunkts ir vienlaikus trijstūra augstums, tad droši secināt - trīsstūris ir vienaldzīgs.
• Ja bisektoram ir arī augstums, tad, balstoties uz galvenajām iezīmēm, trīsstūris tiek saukts par vienaldzīgu.
• Un, protams, ja vidusdaļa parādās augstuma lomā, tad šāds trīsstūris ir vienaldzīgs.

Augstuma formula 1

Tomēr lielākajai daļai problēmu ir nepieciešams atrast aritmētisko augstumu. Tāpēc mēs apsveram, kā atrast augstumu vienādainā trīsstūrī.

Ļaujiet mums atgriezties pie iepriekš redzamā ABC attēla, kurā a ir malas, un c ir bāze. VD ir šī trijstūra augstums, tam ir apzīmējums h.

Kāds ir AED trijstūris? Tā kā VD ir augstums, ABD trijstūris ir taisnstūrveida, kura katetru var atrast. Izmantojot Pythagoras formulu, iegūstam:

AV² = АД² + ВД²

Nosakot no izteiciena VD un aizstājot iepriekš izmantoto apzīmējumu, iegūstam:

Н² = а² - (в / 2) ².

Ir nepieciešams izņemt saknes:

H = √²² - in² / 4.

Ja mēs noņemam no saknes zīmes ¼, tad formula izskatīsies šādi:

H = ½ √4a² - in².

Tas ir augstums taisnstūra trīsstūrī. Formula izriet no Pitagora teorēmas. Pat ja jūs aizmirstat šo simbolisko ierakstu, tad, zinot atrast metodi, jūs vienmēr varat to atsaukt.

Augstuma formula 2

Iepriekš aprakstītā formula ir galvenā un biežākaTo izmanto, lai atrisinātu lielāko daļu ģeometrisko problēmu. Bet tas nav vienīgais. Reizēm stāvoklī, nevis bāzes vietā tiek dota leņķa vērtība. Ar šādiem datiem, kā atrast augstumu vienādainā trīsstūrī? Lai atrisinātu līdzīgas problēmas, ir ieteicams izmantot citu formulu:

H = a / sin α,

kur H ir augstums, kas vērsts uz pamatni,

bet - puse,

α ir leņķis pie pamatnes.

Ja uzdevums dod leņķa vērtību pie virsotnes, tad augstums taisnstūra trīsstūrī ir šāds:

H = a / cos (β / 2),

kur H ir augstums, kas nokritās uz pamatnes,

β ir leņķis pie virsotnes,

a ir puse.

Taisnstūra taisnstūra trīsstūris

Ļoti interesants īpašums ir trīsstūris, kura virsotne ir 90 grādi. Apsveriet pareizo trijstūri ABC. Tāpat kā iepriekšējos gadījumos VD ir augstums, kas novirzīts uz pamatni.

Stūri pie pamatnes ir vienādi. Aprēķiniet savu lielisko darbu nebūs:

α = (180-90) / 2.

Tādējādi leņķi pie pamatnes,vienmēr 45 grādi. Tagad apsveriet trijstūri ADV. Tas ir arī taisnstūrveida. Ļaujiet mums atrast ABD leņķi. Ar vienkāršiem aprēķiniem mēs iegūstam 45 grādus. Un līdz ar to šis trīsstūris ir ne tikai taisnstūrveida, bet arī vienaldzīgs. Puses AD un VD ir sānu malas un savstarpēji vienādas.

Bet BP pusē tajā pašā laikā ir pusesānu AC. Izrādās, ka augstums taisnstūra trīsstūrī ir puse no pamatnes, un, ja tas ir rakstīts formulas formā, mēs iegūstam šādu izteiksmi:

H = B / 2.

Jāatceras, ka šī formula ir tikai īpašs gadījums, un to var izmantot tikai taisnstūra taisnstūra trijstūriem.

Zelta trīsstūra

Ļoti interesanti ir zelta trīsstūris. Šajā attēlā sānu līdz bāzei attiecība ir tāda vērtība, ko sauc par Phidias numuru. Leņķis augšpusē ir 36 grādi, pie pamatnes - 72 grādi. Šo trīsstūri apbrīnoja pitagorieši. Zelta trīsstūra principi ir daudzu nemirstīgu šedevru pamats. Zināms, ka visai pieczīmīgai zvaigznei ir uzcelta vienādainu trīsstūru krustošanās. Daudziem darbiem Leonardo da Vinči izmantoja "zelta trīsstūra" principu. Kompozīcija "Gioconda" balstās tieši uz skaitļiem, kas veido regulāru zvaigžņu pentagonu.

Attēls "kubisms", kas ir viens no Pablo Pikaso veidojumiem, aizrauj viedokli, ko veido vienādaini trīsstūri.

</ p>>